Miscellanea

SISTEMI HAMILTONIANI

Un descrizione dettagliata

Sommario I sistemi hamiltoniani trattano sullo stesso piano le coordinate ed i momenti; perciò è possibile utilizzare dei cambiamenti di coordinate che mescolano le une e gli altri. Se il cambiamento di carta nello spazio delle fasi soddisfa opportune condizioni sulla matrice jacobiana, allora è canonico, cioè conserva la forma delle equazioni di Hamilton. Trasformazioni canoniche possono essere costruite a partire da funzioni generatrici in variabili miste; questo permette di cercare trasformazioni che semplificano le equazioni di moto.

Definizione:

 

Un sistema hamiltoniano   è un sistema dinamico definito da una hamiltoniana   H(P,Q), che è una funzione di classe di aperto di , mediante le equazioni di Hamilton  



 

Q,P sono un vettori ad n componenti ; perciò si dice che il sistema ha n gradi di libertà . Per ogni coordinata , la corrispondente è il suo momento coniugato . L'insieme in cui possono variare (P,Q) è lo spazio delle fasi .

Più in generale le Q potrebbero essere le coordinate di una carta locale di uno spazio delle configurazioni  definito da vincoli olonomi; in tal caso le P cambiano, nel passaggio da una carta all'altra, in modo covariante , cioè come i gradienti e come le equazioni di Lagrange: se le coordinate nella nuova carta sono Z ed i momenti W

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