Appunti Analisi Matematica e Geometria

Strutture Algebriche

Definizioni generali di: gruppo, gruppo abeliano, anello, campo, campo di Galois, anello polinomiale. tratto dalla tesi di laurea in "Applicazione delle tecniche di crittografia nella trasmissione ed elaborazione dati" redatta dall'ingegnere Federico Gennari nell'anno accademico 2000/2001.

 Strutture Algebriche: definizioni generali

• Un gruppo (G,*) consiste di un insieme G con operazione binaria * su G che soddisfa i tre assiomi: associatività, esistenza dell’elemento identità, esistenza dell’elemento inverso. Se poi gode della proprietà commutativa il gruppo G è abeliano. Un gruppo G è finito se |G|, e il numero degli elementi è detto ordine. Un gruppo G è ciclico se c’è un elemento tale che per ogni  c’è un intero i che  _.Tale elemento è detto generatore di G.
• Un anello (R, +, * ) è un gruppo abeliano con due operazioni binarie arbitrarie, addizione (+) e moltiplicazione (*) che soddisfano i seguenti assiomi. (R, + ) deve essere un gruppo abeliano con elemento identità 0. La moltiplicazione deve essere associativa e distributiva sull’addizione, con elemento identità 1 (diverso da 0), e se gode anche della proprietà commutativa, l’anello è commutativo. Un esempio di anello è l’insiemi degli interi modulo N per qualsiasi N.
• Un campo invece è un anello commutativo in cui tutti gli elementi diversi da zero hanno inversi moltiplicativi. Ad esempio l’insieme degli interi modulo P con P primo.
• Un campo di Galois modulo p, denominato GF(p), è composto dall’aritmetica modulo p, con p primo.
• Un anello polinomiale è così definito: se R è un anello commutativo, allora un polinomio nell’incognita x sull’anello R è un’espressione del genere:

f(x) =aⁿxⁿ+ _ _ _+ a² x ² + a¹ x + a⁰                        (dove a_iR e n0)

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