Landweber-Fridman

Matlab

Giuseppe Ciaburro-998

Landweber-Fridman

Metoto iterativo di Landweber-Fridman

A cura di Anna
Custo
I metodi iterativi sono metodi per la risoluzione di problemi “mal
posti” o “mal condizionati”, nei quali il numero di iterazioni ha
il ruolo di parametro di regolarizzazione.

Uno dei più semplici tra questi metodi è il metodo di Landweber-Fridman;
esso viene detto anche metodo delle approssimazioni successive poichè calcola
approssimazioni di soluzioni nel senso dei minimi quadrati, cioè soluzioni
dell’equazione:

$begin{displaymath} A^{ast}Af , = , A^{ast}g , . end{displaymath}$

L’equazione può essere riscritta nella seguente forma:

$begin{displaymath} f,=,f,+,tau(A^{ast}g,-,A^{ast}Af) end{displaymath}$

dove
è detto parametro di rilassamento.

Tale forma suggerisce il seguente procedimento iterativo:

$begin{displaymath} f_{N+1},=,f_{N},+,tau(A^{ast}g,-,A^{ast}Af_{N}) end{displaymath}$

che può essere eseguito assegnando il valore iniziale alla funzione $f_{0}$
(ad esempio $f_{0}$ =0).

La precedente relazione di ricorrenza può anche essere scritta come segue:

$begin{displaymath} f_{N+1},=,tau A^{ast}g,+,(I,-,tau A^{ast}A)f_{N} , . end{displaymath}$

Per induziome si può dimostrare che

$begin{displaymath} f_{N},=,tau,{I,+,(I,-,tau A^{ast}A),+....+,(I,-... ...st}A)^{N+1}}A^{ast}g,+,(I,-,tau A^{ast}A)^{N}f_{0} , . end{displaymath}$

In molti casi poò essere necessario imporre il cosiddetto vincolo di
positività; si ottiene aggiornando la soluzione approssimata ottenuta
all’k-esima iterazione sostituendola con la sua parte positiva.

Il procedimento iterativo, ponendo $f_{0}$ =0,
è il seguente:

$begin{displaymath} f_{0}(n,m),=,f_{0}^{(+)}(n,m),=,0 end{displaymath}$

$begin{displaymath} f_{N+1}(n,m),=,tau A^{ast}g,+,(I,-,tau A^{ast}A)f_{N}^{(+)}(n,m) end{displaymath}$

$begin{displaymath} f_{N+1}^{(+)}(n,m),=, f_{N+1}(n,m) ,,,,,, se f_{N+1}(n,m)>0 end{displaymath}” src=”http://www.ai.mit.edu/people/custo/HTML_THESIS/img173.png” border=”0″ width=”468″ height=”46″> <img alt=$ f_{N+1}^{(+)}(n,m),=, 0 ,,,,,, se f_{N+1}(n,m)leq 0 , .
end{displaymath}" src="http://www.ai.mit.edu/people/custo/HTML_THESIS/img174.png" border="0" width="431" height="46">

Nel caso in cui l’operatore $A^{ast}A$
abbia un inverso continuo (solitamente avviene nei problemi discretizzati) si può
dimostrare che l’algoritmo precedente converge all’unica soluzione nel senso dei
minimi quadrati non-negativa, cioè all’unica soluzione del problema

Tale soluzione risulta, di solito, numericamente instabile, quindi il numero di
iterazioni gioca il ruolo di parametro di regolarizzazione; ciò significa che,
arrestando opportunamente il numero di iterazioni, si ottiene una soluzione
regolarizzata del problema.

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Pubblicato il giovedì 10 giugno 2004 in: Miscellanea